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1995
25
Lug

Olimpiadi di matematica

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Olimpiadi di matematica


Eccoci giunti al terzo appuntamento con l'affascinante mondo della matematica. Dopo il precedente articolo in cui abbiamo appreso qualche nozione sul Pi greco, vi voglio proporre qualcosa di più serio e concreto: mi è capitato fra le mani il testo delle olimpiadi di matematica della finale nazionale tenutasi a Cesenatico il 5 maggio corrente anno.
Per chi non avesse mai sentito parlare di questa iniziativa è bene spiegare in cosa consiste. La gara è organizzata dalla Normale di Pisa per le scuole medie superiori ed è divisa in Junior e Senior. La gara
Junior è quella per il biennio degli istituti superiori e comprende due prove, una prequalifica e la gara vera e propria, entrambe a livello dell'istituto, nel senso che si diventa campioni dell'istituto.
La gara Senior dedicata agli studenti del triennio è divisa in quattro prove:
- la prima prova viene svolta a livello del singolo istituto; è una prova molto semplice a cui tutti gli studenti possono partecipare.
Serve per vedere quali sono gli studenti che hanno più dimestichezza in questo tipo di prove.
- La seconda prova è a livello provinciale. La prova consiste in una quindicina di domande a risposta multipla (con 5 possibilità) e due teoremi da dimostrare. I migliori di ogni istituto gareggiano fra di loro ottenendo così una classifica provinciale. I primi di questa classifica hanno diritto a partecipare alla gara nazionale.
- La terza prova è la gara nazionale. Viene svolta a Cesenatico
(quest'anno il 5 maggio) e dura tre giorni; tutti i trecento partecipanti sono completamente spesati (viaggio, vitto e alloggio).
Anche in questa gara viene formata una classifica e, oltre i primi dieci, vengono premiati anche i primi di ogni regione. I primi venticinque hanno diritto a partecipare ad uno stage formativo a
Crotone, mentre i primi dieci potranno partecipare alla finale internazionale.
- L'ultima prova è quella internazionale. E'una prova estremamente complessa ed impegnativa. Purtroppo quest'anno non conosco il paese in cui si è svolta la gara, ma, a titolo informativo, posso dire che l'anno scorso è stata fatta ad Hong Kong.
La prova che in questo articolo vi proporrò è quella nazionale. Ho scelto questa prova sia perchè è difficilmente reperibile, sia perchè nella gara provinciale l'unica vera difficoltà è il tempo; risolvere la gara provinciale avendo tutto il tempo che si desidera si arriva ad un livello quasi banale.

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XI GARA NAZIONALE DI MATEMATICA

Cesenatico, 5 maggio 1995


1) Determinare per quali valori dell'intero n è possibile ricoprire, senza sovrapposizioni, senza lasciare caselle vuote e senza fare sporgere tasselli, un quadrato di lato n con tasselli del tipo mostrato in figura dove ogni quadratino del tassello ha lato unitario.

2) I 20 alunni di una classe ricevono le pagelle e osservano che non vi sono due studenti che hanno entrambe i voti (scritto e orale) di matematica uguali. Diremo che un alunno A è più bravo di un alunno B in matematica se tutti e due i voti di A sono maggiori o uguali dei corrispondenti voti di B (uno dei due essendo strettamente maggiore).
(a)Tenendo conto che i voti sono interi compresi tra 1 e 10 (estremi inclusi) si dimostri che esistono tre alunni A, B, C tali che, in matematica, A è più bravo di B e B è più bravo di C.
(b) la tesi rimarrebbe vera se ci fossero meno di 20 alunni?

3) In un paese ci sono 4 osterie, chiamate A, B, C, D e collegate fra di loro nel modo mostrato in figura. Un ubriacone inizia a fare il giro delle osterie partendo dall'osteria A e passa, dopo aver bevuto, a una qualsiasi delle osterie raggiungibili direttamente, con la stessa probabilità.
(a) Qual'è la probabilità che l'ubriacone si trovi all'osteria C alla quinta "bevuta" ?
(b) Dove è più probabile che l'ubriaco si trovi dopo n bevute? (n >
5)

4) Dato un triangolo acutangolo ABC inscritto in una circonferenza di centro O, si tracci la bisettrice dell'angolo BAC; detta D la sua intersezione con BC, si conduca da D la perpendicolare alla retta AO e si supponga che essa incontri la retta passante per A e per C in un punto P interno al segmento AC. Si dimostri che AB = AP.

5) Date due circonferenza nello spazio non complanari, tangenti in un punto e aventi in comune la retta tangente in tale punto, si dimostri che esse appartengono ad una stessa superficie sferica.

6) Trovare tutte le coppie di numeri interi positivi X, Y tali che


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Per quanto riguarda la soluzione.... oh! casualmente è già finito lo spazio a disposizione. Quindi mi raccomando: quest'estate mettetevi al lavoro ed eventualmente speditemi qualche vostra soluzione.
Ricordatevi infatti che se non riceverò nulla mi avrete sulla coscienza per tutta l'estate: mentre voi vi starete godendo il sole sulla spiaggia o il fresco nei boschi di montagna, ci sarà qualcuno chino sui libri per farvi avere al più presto una soluzione.
Scherzi a parte, questa può essere una buona occasione per sfidare le proprie capacità e, per i meno giovani, un modo per tornare a sentirsi sui banchi di scuola delle superiori durante i compiti di matematica
(non è forse un bel ricordo!?!?).

Arrivederci alla prossima volta e scusatemi se mi sono dilettato in facezie invece di cominciare a riportare la soluzione.

Thomas Serafini

 
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:: Thomas Serafini

Thomas Serafini, nato il 12/3/1977, è iscritto all'ultimo anno della facoltà di Matematica a Modena. Lavora come sviluppatore software ed è un musicista dilettante. Su KULT Underground si occupa della parte musicale e cura articoli divulgativi a carattere matematico/scientifico.


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