La primavera e’ alle porte e questo e’ il periodo in cui le palestre cominciano a riempirsi; infatti molti hanno notato che per tutto l’inverno si sono impigriti ed hanno vissuto una vita sedentaria senza attivita’ fisiche. Fra pochi mesi e’ estate e quindi comincia la corsa alle palestre per cercare di rimettersi in forma per l’estate. Non dimentichiamo pero’ che anche la mente vuole la sua parte e per questo ci sono qua io, a proporvi come al solito qualche problema di logica che ha lo scopo di far lavorare anche le meningi e non solo gli addominali!
Cominciamo con le soluzioni dei problemi del mese scorso. Anche questa volta devo citare Maurizio Lapenna che mi ha spedito a grande velocita’ le soluzioni ai problemi, tutte corrette e molto rigorose. Preferisco pero’ presentarvi una versione un po’ piu’ sintetica rispetto a quelle che mi sono pervenute. Cominciamo…
Una seggiovia ha 100 seggiolini, numerati da 1 a 100. Uno sciatore prende la seggiovia e sale sul seggiolino numero x. Durante il tragitto che lo porta in cima alla montagna incontra tutti gli altri 99 seggiolini. Arrivato in cima, egli afferma che 7 dei seggiolini che ha incrociato avevano un numero che divideva x (il numero del suo seggiolino), mentre x divideva il numero di 3 dei seggiolini incrociati. Quanto vale x?
I numeri che ammettono 3 multipli minori o uguali a 100 sono quelli compresi fra 21 e 25: infatti i numeri minori di 21 hanno almeno quattro multipli minori di 100, mentre i numeri maggiori di 25 hanno solo due multipli minori di 100.
Uno solo tra i numeri compresi fra 21 e 25 ha esattamente 7 divisori: si tratta del 24. Quindi lo sciatore e’ seduto sul seggiolino numero 24.
Due poligoni hanno complessivamente 89 diagonali. Quanti lati hanno complessivamente i due poligoni?
Ricordiamo la nota formula per calcolare il numero D di diagonali per un poligono con N lati:
D = N*(N – 3) / 2
Infatti da ognuno degli N vertici del poligono si possono tracciare N – 3 diagonali, congiungendo il vertice con gli altri vertici del poligono fatta eccezione del vertice stesso e dei due vertici adiacenti. E’ facile verificare che i poligoni cercati hanno 10 e 12 lati; infatti essi avranno rispettivamente 35 e 54 diagonali, la cui somma risulta appunto 89.
————————————————-
Passiamo ora a due nuovi problemi: questo mese parleremo di bilance e di pesate. In realta’ questo e’ semplicemente un pretesto per mettere in luce un importante aspetto che puo’ condizionare il nostro abituale modo di ragionare. La "morale della favola" sara’ sicuramente chiara il prossimo mese, leggendo le soluzioni.
1) Abbiamo 9 monete d’oro uguali; sappiamo pero’ che una delle monete e’ falsa ed il suo peso e’ la meta’ rispetto alle monete autentiche. Possediamo una bilancia di Roberval (cioe’ la classica bilancia con i due piattelli che pendono dalla parte dove c’e’ il peso meggiore) con la quale vogliamo scoprire qual’e’ la moneta falsa. Qual’e’ il numero minimo di pesate necessarie?
2) Abbiamo 10 sacchi di monete; tutti i sacchi contengono lo stesso tipo di monete eccetto uno che contiene monete false, il cui peso e’ la meta’ di quello delle monete vere. Vogliamo scoprire qual’e’ il sacco che contiene le monete false utilizzando una bilancia automatica (cioe’ la bilancia del salumiere, che da il peso esatto dell’oggetto pesato). Qual’e’ il numero minimo di pesate necessarie?
L’appuntamento e’ al mese prossimo. A presto!
