Lo scopo di questo articolo è quello di determinare quali sono le probabilità di vincita nel gioco del Lotto e del superenalotto e di conseguenza valutare con quale svantaggio ogni povero cittadino gioca contro lo Stato. Chi fosse interessato esclusivamente ai risultati numerici può andare direttamente alla fine dell’articolo, in cui è presente una tabella riassuntiva.
Chi ha invece un po’ più di pazienza, potrà trovare da questo punto in avanti i ragionamenti necessari per determinare i vari risultati. Per fare questo, analizzeremo prima un altro gioco: il Lotto. I risultati ottenuti dall’analisi del lotto ci serviranno per studiare il Superenalotto.
Precisiamo ora le regole del gioco del Lotto: abbiamo 10 ruote, ciascuna formata da 5 numeri. Per ogni ruota si estraggono senza restituzione 5 numeri da un’urna contenente 90 numeri. Il termine senza restituzione sta ad indicare che una volta estratto, il numero non viene reinserito nell’urna, di conseguenza non si può estrarre due volte lo stesso numero.
Cominciamo col puntualizzare alcuni dettagli matematici di calcolo combinatorio. Chiariamo inizialmente il concetto di combinazioni semplici. Supponiamo di avere 50 persone e vogliamo sapere in quanti modi possiamo formare una squadra di calcio (da 11 persone). Nel formare una squadra, dobbiamo seguire due regole. La prima è che non possiamo conteggiare due volte la stessa persona all’interno della squadra: cioè, se una persona è stata scelta fra le 50, è ovvio che non possiamo inserirla di nuovo, perché una persona non si può sdoppiare. L’altra regola è che non conta l’ordine con cui scelgo le persone: posso ad esempio chiamare prima Andrea poi Biagio e poi Carlo, ma anche prima Carlo poi Andrea e poi Biagio; alla fine le pesone che formano la squadra non cambiano anche se vengono elencate in modo diverso.
Una cosa simile succede anche quando estraiamo i 5 numeri di una ruota del lotto: è come se formassimo una squadra con 5 persone prese da un gruppo di 90. Come in una squadra non conteggiamo due volte la stessa persona, così nel lotto non possiamo estrarre due volte lo stesso numero. Ancora, come in una squadra non conta l’ordine delle persone, così all’interno di una ruota non conta l’ordine dei numeri. Ad esempio, giocando
11
se esce 55 11 56 27 18 si vince il terno
ma si vincerebbe anche se uscisse 18 11 27 55 56
oppure se uscisse 11 18 27 55 56.
Per convenzione decidiamo di ordinare crescentemente i numeri estratti.
C’è una formula per calcolare il numero di combinazioni semplici di n elementi in gruppi di k (nel caso del lotto, n = 90 e k = 5), cioè in quanti modi, senza ripetizioni e senza considerare l’ordine degli elementi, posso raggruppare n numeri in gruppi da k. La formula è
n * (n – 1) * … * (n – k + 1) / k! dove con k! si indica il fattoriale di k. La scritura bree di questa espressione è (n k).
Applichiamolo al caso del lotto: (90 5) = 43.949.268
Questo ci dice che su una qualunque ruota ci sono circa 43 milioni di modi diversi di formare una cinquina. Segue immediatamente che la probabilità di indovinare una cinquina è di 1 su 43.949.268.
Calcoliamo ora la probabilità di fare ambo: supponiamo di aver scelto 2 numeri all’interno della ruota. Rimangono tre numeri che, indipendentemente da come variano, non pregiudicano la vincita dell’ambo. Questi tre numeri li posso scegliere fra i restanti 88, cioè i 90 numeri del lotto tolti i due numeri fissati. I modi con cui posso scegliere questi tre numeri sono (88 3). La probabilità di un ambo sarà quindi di (88 3) / (90 5).
Più in generale la possibilità di indovinae n numeri (n = 2 ==> ambo, n = 3 ==> terno, ecc…) è di
(90-n 5-n) / (90 5).
Facendo i calcoli numerici otteniamo i seguenti risultati:
Ambo 1 : 400,5
Terno 1 : 11748
Quaterna 1 : 511038
Cinquina 1 : 43949268
A voi il compito di confrontare questi risultati con quelli ufficiali del gioco del Lotto.
Passiamo ora al superenalotto e cerchiamo le analogie con il lotto per sfruttare i calcoli che abbiamo eseguito fin’ora. I sei numeri del superenalotto sono i primi estratti delle prime sei ruote del lotto. Dato che c’è la possibilità che il primo estratto della prima ruota sia uguale al primo estratto di un’altra delle cinque ruote, c’è una regola per cui si passa al secondo estratto nel caso di un numero doppio. In questo modo siamo sicuri che tutti i numeri estratti siano diversi l’uno dall’altro. In realtà c’è un caso particolare, ad esempio:
10 1 5 87 54
10 66 51 27 33
10 66 21 44 71
10 66 21 39 47
10 66 21 39 81
10 66 21 39 81
In questo caso teniamo il primo estratto della seconda ruota, poi il secondo estratto della seconda ruota perchè il primo estratto è uguale a quello della prima ruota. Poi prendiamo il terzo estratto della terza ruota perché il primo estratto è uguale a quello della prima ruota e il secondo estratto è uguale a quello della seconda ruota, ecc…
Arrivati alla sesta ruota, non abbiamo più numeri disponibili per cui non è possibile determinare il sesto numero. Questa condizione è però così improbabile (un caso su svariate decine di miliardi) che non è nemmeno contemplato dal regolamento. Anche ai fini del calcolo delle probabilità è del tutto inconsistente, quindi analizzaremo una versione semplificata in cui non consideriamo questa possibilità.
Il superenalotto può essere visto come un estrazione del lotto con una sola ruota da 6 numeri (ma questo non è un problema perché anche nel lotto abbiamo fatto i conti su un’unica ruota) estratti da un totale di 90 numeri.
I possibili gruppi di 6 elementi saranno (90 6) = 622.614.630 e quindi avremo una possibilità su oltre 622 milioni di indovinare la sestina. Considerando una media statistica (molto approssimativa) di circa 100 milioni di schedine giocate, abbiamo circa una vincita ogni 6 estrazioni.
Calcoliamo ora la probabilità di indovinare n numeri e partiamo dal risultato che abbiamo ottenuto dal lotto: (90-n 6-n) / (90 6).
C’è però una variante da tenere in considerazione: se nel lotto vogliamo giocare un terno, scriveremo sulla schedina 3 numeri. Nel Superenalotto, invece, scriviamo comunque 6 numeri, anche se poi fra quei 6 soltanto 3 saranno giusti. Dobbiamo perciò vedere quanti terni o più in generale quante n-uple (cioè gruppi di n numeri) si possono formare con 6 elementi. Ancora una volta ci viene in aiuto la nostra formuletta: (6 n)
La formula definitiva sarà (6 n) * (90-n 6-n) / (90 6).
Facendo tutti i calcoli abbiamo che:
n = 1 1 : 2,5
n = 2 1 : 49,5
n = 3 1 : 293,7
n = 4 1 : 11.356,4
n = 5 1 : 1.220.813
n = 6 1 : 622.614.630
Vediamo infine il caso del numero Jolly. Quello che ci è sempre stato detto è la seguente affermazione: "Nel caso uno abbia indovinato un 5 ma non un 6, c’è la possibilità di vedere se il 6 numero, quello sbagliato, coincide con il numero Jolly". Tradotto in un’affermazione matematicamente più corretta potrei dire: "nel caso in cui non ho indovinato il 6 con le prime 6 cifre estratte, posso provare a vedere se riesco a fare 6 con 7 numeri estratti" (7 = i primi 6 numeri più il numero Jolly). E’ come se fosse un lotto in cui la ruota contiene 7 numeri e io voglio indovinare una sestina. Basandosi sulla formula del lotto, le probabilità di fare 5 + jolly sono
(90-n 7-n) / (90 7) che con n = 6 diventa (84 1) / (90 7)
cioè 1 : 88.944.947,17
In ogni caso la speranza matematica, cioè la possibilità di ottenere dei guadagni giocando, è esclusivamente legata alla percentuale dei ricavi che lo Stato utilizza per il montepremi. Se, ad esempio, il 60% di una giocata viene messa nel montepremi, allora giocando per un lungo periodo di tempo, per ogni 1000 lire giocate 600 ritornano come vincite, mentre 400 verranno perse.
Morale della favola: statisticamente parlano, il modo migliore per guadagnare è non giocare.
