Eccoci giunti all’ultimo appuntamento di Brainfitness: questo mese, le soluzioni ai due problemi del numero precedente saranno solo un pretesto per mettere in luce un frequente errore nel nostro modo di ragionare. Cominciamo col primo problema:
1) Abbiamo 9 monete d’oro uguali; sappiamo pero’ che una delle monete e’ falsa ed il suo peso e’ la meta’ rispetto alle monete autentiche. Possediamo una bilancia di Roberval (cioe’ la classica bilancia con i due piattelli che pendono dalla parte dove c’e’ il peso meggiore) con la quale vogliamo scoprire qual’e’ la moneta falsa. Qual’e’ il numero minimo di pesate necessarie?
Il minimo numero di pesate e’ 2 ed il procedimento e’ il seguente: si dividono le 9 monete in 3 gruppi da 3 monete. Si mette un gruppo su un piatto della bilancia ed un altro gruppo sull’altro piatto; il terzo gruppo rimane fuori dalla bilancia. Se la bilancia pende verso sinistra, vuol dire che la moneta falsa e’ fra le 3 monete sul piatto di destra; allo stesso modo, se la bilancia pende verso destra, la moneta falsa e’ fra le 3 sul piatto a sinistra. Se la bilancia rimane pari, la moneta falsa e’ fra quelle che non abbiamo caricato sulla bilancia. Ora, individuato il gruppo che contiene la moneta falsa, scartiamo gli altri due gruppi. Con le restanti 3 monete, facciamo la seconda pesata, ripetendo lo stesso procedimento: mettiamo una moneta su ciascun piattello e la terza moneta non la carichiamo sulla bilancia. Se scende il piatto di sinistra, la moneta falsa e’ quella sul piatto a destra; se scende il piatto a destra, la moneta falsa e’ quella a sinistra; se la bilancia rimane pari, la moneta falsa e’ quella che non abbiamo messo sulla bilancia.
In modo piu’ formale, si puo’ osservare che la bilancia ci da ad ogni pesata 3 stati di informazione: piu’ pesante a destra, piu’ pesante a sinistra o pesante uguale. Mediante due pesate, otteniamo 3^2 = 9 stati di informazione.
2) Abbiamo 10 sacchi di monete; tutti i sacchi contengono lo stesso tipo di monete eccetto uno che contiene monete false, il cui peso e’ la meta’ di quello delle monete vere. Vogliamo scoprire qual’e’ il sacco che contiene le monete false utilizzando una bilancia automatica (cioe’ la bilancia del salumiere, che da il peso esatto dell’oggetto pesato). Qual’e’ il numero minimo di pesate necessarie?
Qui viene la parte interessante. Il problema precedente ci ha condizionato la mente: abbiamo lavorato su elementi indivisibili, cioe’ una moneta era il piu’ piccolo oggetto che potevamo trattare. Dovendo fare delle pesate, mettavamo ad esempio tre monete su un piattello e 3 monete su un altro. Condizionati da questo modo di procedere, la cosa piu’ istintiva e’ di affrontare questo problema allo stesso modo, cioe’ pesare i sacchi interi. Per cui sembrera’ impossibile se dico che si puo’ scovare il sacco di monete finte con 1 sola pesata!
Il procedimento e’ il seguente: apro i 10 sacchi di monete e metto sulla bilancia una moneta del primo sacco, due monete del secondo sacco, tre monete del terzo sacco; procedo cosi’ fino a mettere 10 monete del decimo sacco. Leggendo il peso sulla bilancia e’ facile capire qual’e’ il sacco con le monete finte!
Morale: quando diciamo che una cosa e’ impossibile, molto spesso siamo soltanto noi che la pensiamo impossibile, perche’ limitiamo il ragionamento a dei condizionamenti mentali.
OK, ora potete andare in palestra e dedicarvi ad un po’ di… bodyfitness!
