Eccoci giunti al terzo appuntamento con l’affascinante mondo della matematica. Dopo il precedente articolo in cui abbiamo appreso qualche nozione sul Pi greco, vi voglio proporre qualcosa di più serio e concreto: mi è capitato fra le mani il testo delle olimpiadi di matematica della finale nazionale tenutasi a Cesenatico il 5 maggio corrente anno.
Per chi non avesse mai sentito parlare di questa iniziativa è bene spiegare in cosa consiste. La gara è organizzata dalla Normale di Pisa per le scuole medie superiori ed è divisa in Junior e Senior. La gara
Junior è quella per il biennio degli istituti superiori e comprende due prove, una prequalifica e la gara vera e propria, entrambe a livello dell’istituto, nel senso che si diventa campioni dell’istituto.
La gara Senior dedicata agli studenti del triennio è divisa in quattro prove:
– la prima prova viene svolta a livello del singolo istituto; è una prova molto semplice a cui tutti gli studenti possono partecipare.
Serve per vedere quali sono gli studenti che hanno più dimestichezza in questo tipo di prove.
– La seconda prova è a livello provinciale. La prova consiste in una quindicina di domande a risposta multipla (con 5 possibilità) e due teoremi da dimostrare. I migliori di ogni istituto gareggiano fra di loro ottenendo così una classifica provinciale. I primi di questa classifica hanno diritto a partecipare alla gara nazionale.
– La terza prova è la gara nazionale. Viene svolta a Cesenatico
(quest’anno il 5 maggio) e dura tre giorni; tutti i trecento partecipanti sono completamente spesati (viaggio, vitto e alloggio).
Anche in questa gara viene formata una classifica e, oltre i primi dieci, vengono premiati anche i primi di ogni regione. I primi venticinque hanno diritto a partecipare ad uno stage formativo a
Crotone, mentre i primi dieci potranno partecipare alla finale internazionale.
– L’ultima prova è quella internazionale. E’una prova estremamente complessa ed impegnativa. Purtroppo quest’anno non conosco il paese in cui si è svolta la gara, ma, a titolo informativo, posso dire che l’anno scorso è stata fatta ad Hong Kong.
La prova che in questo articolo vi proporrò è quella nazionale. Ho scelto questa prova sia perchè è difficilmente reperibile, sia perchè nella gara provinciale l’unica vera difficoltà è il tempo; risolvere la gara provinciale avendo tutto il tempo che si desidera si arriva ad un livello quasi banale.
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1) Determinare per quali valori dell’intero n è possibile ricoprire, senza sovrapposizioni, senza lasciare caselle vuote e senza fare sporgere tasselli, un quadrato di lato n con tasselli del tipo mostrato in figura dove ogni quadratino del tassello ha lato unitario.
2) I 20 alunni di una classe ricevono le pagelle e osservano che non vi sono due studenti che hanno entrambe i voti (scritto e orale) di matematica uguali. Diremo che un alunno A è più bravo di un alunno B in matematica se tutti e due i voti di A sono maggiori o uguali dei corrispondenti voti di B (uno dei due essendo strettamente maggiore).
(a)Tenendo conto che i voti sono interi compresi tra 1 e 10 (estremi inclusi) si dimostri che esistono tre alunni A, B, C tali che, in matematica, A è più bravo di B e B è più bravo di C.
(b) la tesi rimarrebbe vera se ci fossero meno di 20 alunni?
3) In un paese ci sono 4 osterie, chiamate A, B, C, D e collegate fra di loro nel modo mostrato in figura. Un ubriacone inizia a fare il giro delle osterie partendo dall’osteria A e passa, dopo aver bevuto, a una qualsiasi delle osterie raggiungibili direttamente, con la stessa probabilità.
(a) Qual’è la probabilità che l’ubriacone si trovi all’osteria C alla quinta “bevuta” ?
(b) Dove è più probabile che l’ubriaco si trovi dopo n bevute? (n >
5)
4) Dato un triangolo acutangolo ABC inscritto in una circonferenza di centro O, si tracci la bisettrice dell’angolo BAC; detta D la sua intersezione con BC, si conduca da D la perpendicolare alla retta AO e si supponga che essa incontri la retta passante per A e per C in un punto P interno al segmento AC. Si dimostri che AB = AP.
5) Date due circonferenza nello spazio non complanari, tangenti in un punto e aventi in comune la retta tangente in tale punto, si dimostri che esse appartengono ad una stessa superficie sferica.
6) Trovare tutte le coppie di numeri interi positivi X, Y tali che
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Per quanto riguarda la soluzione…. oh! casualmente è già finito lo spazio a disposizione. Quindi mi raccomando: quest’estate mettetevi al lavoro ed eventualmente speditemi qualche vostra soluzione.
Ricordatevi infatti che se non riceverò nulla mi avrete sulla coscienza per tutta l’estate: mentre voi vi starete godendo il sole sulla spiaggia o il fresco nei boschi di montagna, ci sarà qualcuno chino sui libri per farvi avere al più presto una soluzione.
Scherzi a parte, questa può essere una buona occasione per sfidare le proprie capacità e, per i meno giovani, un modo per tornare a sentirsi sui banchi di scuola delle superiori durante i compiti di matematica
(non è forse un bel ricordo!?!?).
Arrivederci alla prossima volta e scusatemi se mi sono dilettato in facezie invece di cominciare a riportare la soluzione.
