Questo mese vorrei proporvi alcuni esempi di paradossi matematici, cioè di ragionamenti errati che portano a conclusioni assurde. Spesso il paradosso nasce perché, in maniera molto oculata, non vengono forniti tutti i dati necessari per risolvere il problema, altre volte perché la soluzione non esiste nell’ambiente matematico in cui si sta lavorando (un esempio potrebbe essere un problema che si risolve calcolando la radice quadrata di un numero negativo: nel campo dei numeri reali non esiste nessuna soluzione); altre volte ancora, si propone un ragionamento ingannevole, cioè apparentemente corretto ma in realtà logicamente errato.
Paradosso dei tre carcerati: mancanza di dati necessari a risolvere il problema.
Supponiamo che ci siano tre carcerati A, B, C. Uno dei tre verrà graziato, mentre gli altri due verranno giustiziati. La probabilità che ciascuno ha di essere graziato è quindi di 1/3.
Il carcerato A nota che questa probabilità è molto bassa ed allora fa il seguente ragionamento: sicuramente uno fra B e C verrà giustiziato. Supponiamo che questo sia il carcerato C (ma potrebbe essere allo stesso modo il B): allora fra i carcerati A e B, uno verrà giustiziato e l’altro graziato. In questo modo questi due carcerati hanno probabilità 1/2 di essere graziati e non più 1/3.
Ora il carcerato A è più contento perché con questo semplice ragionamento ha aumentato la sua possibilità di uscire dal carcere!
Problema delle mille lire: ragionamento ingannevole.
Tre amici vanno al ristorante e alla fine della cena gli viene presentato un conto di 30.000 lire, cioè 10.000 lire a testa. Visto il servizio alquanto scadente i tre clienti vanno a protestare dal direttore del ristorante e questi decide di restituir loro 5.000 lire.
I tre amici allora dividono le 5.000 lire nel seguente modo: si riprendono 1.000 lire a testa e le restanti 2.000 lire le danno come mancia al cameriere.
Calcoliamo la loro spesa totale:
9.000 lire a testa (le 10.000 meno le mille lire di rimborso). 9.000 x 3 = 27.000 lire.
Aggiungiamo le 2.000 che hanno dato di mancia al cameriere: 27.000 + 2.000 = 29.000 lire
Dove sono sparite le 1.000 lire che mancano per arrivare a 30.000?
Concludo con un paradosso classico, su cui molti matematici hanno basato i loro studi di logica. Per riuscire a risolvere questo problema è nata quella che oggi conosciamo come fuzzy-logic, cioè una logica in cui non esiste solo il concetto di "vero" e di "falso", ma anche di "mezza verità".
Paradosso del mentitore: affermazione non dimostrabile.
"Questa affermazione è falsa".
A voi il compito, in queste lunghe giornate d’inverno, di trovare l’imbroglio in ciascuno di questi tre paradossi. Per quanto riguarda le soluzioni… beh, le pubblicherò solo se riceverò da qualcuno di voi le proprie idee o le proprie proposte di soluzioni. Se non riceverò nulla, significa che nessuno è realmente interessato all’argomento.
Buone feste.
