Cominciamo innanzitutto con le soluzioni dei due giochi proposti il mese precedente.
La somma delle cifre del numero 5714682 ^ 246 e’ divisibile per 3?
La regola che tutti conoscono per determinare se un numero e’ divisibile per 3 e’ che la somma delle cifre deve essere divisibile per 3. Quindi il problema chiede in sostanza che il numero 5714682 ^ 246 sia divisibile per 3. Ora dato che 5714682 e’ divisibile per 3 (perche’ la somma delle sue cifre 5+7+1+4+6+8+2 = 33 e’ divisibile per 3) a maggior ragione lo sara’ una sua potenza. Quindi 5714682 ^ 246 e’ divisibile per 3 e quindi la risposta al problema e’ "Si".
Trovare una base nella quale il numero 101101 e’ primo.
Comincio con la base 2: il numero sara’ 1×2^5 + 0x2^4 + 1×2^3 + 1×2^2 + 0x2^1 + 1×2^0
Ora penso il numero in base 10: 1×10^5 + 0x10^4 + 1×10^3 + 1×10^2 + 0x10^1 + 1×10^0
E’ facile estendere il numero in una generica base a: 1xa^5 + 0xa^4 + 1xa^3 + 1xa^2 + 0xa^1 + 1xa^0.
Togliendo i termini moltiplicati per 0 si ottiene il polinomio a^5 + a^3 + a^2 + 1.
Notiamo che questo polinomio puo’ sempre essere scritto come (a^3 + 1)(a^2 + 1).
Questo significa che il numero puo’ sempre essere scritto come prodotto di due fattori (per qualunque valore della base a) e quindi non esiste nessuna base in cui il numero non e’ primo. Ad esempio, se la base e’ 6 il numero 101101 vale 6^5 + 6^3 + 6^2 + 1 = 8029. I due fattori in cui puo’ essere scomposto sono a^3 + 1 che vale 6^3 + 1 = 217 e a^2 + 1 che vale 6^2 + 1 = 37. Infatti 8029 = 217*37.
Bene, dato che vi sarete sicuramente annoiati nel risolvere questi due problemi perche’ erano eccessivamente semplici, vediamone ora un altro paio un po’ piu’ difficili, ma sempre sullo stesso genere.
1) Sicuramente il prodotto di 1989 numeri interi consecutivi e’ divisibile per 1989. In realta’ non e’ necessario moltiplicare cosi’ tanti numeri consecutivi per ottenerne uno divisibile per 1989. Trovare in piu’ piccolo intero n tale che il prodotto di n numeri interi consecutivi sia sempre divisibile per 1989.
Come suggerimento, provero’ a giustificare la prima affermazione: nel prodotto di 1989 numeri interi consecutivi ci sara’ senz’altro un multiplo di 1989 (perche’ un numero ogni 1989 e’ un multiplo di 1989); di conseguenza questo prodotto sara’ divisibile per 1989.
A voi il compito di trovare il resto.
2) Scriviamo di seguito, uno di fianco all’altro, i numeri da 1 a 60. Il problema e’ quello di cancellare 100 cifre in modo che le cifre restanti formino il piu’ grande numero possibile.
L’appuntamento e’ per il prossimo mese, in cui presentero’ le soluzioni di questi due problemi, poi cominceremo a vedere problemi di tipo diverso.
