Sono stato contento di ricevere alcune mails in risposta all’articolo sui paradossi pubblicato nel sumero scorso. A beneficio di chi non ha letto quel numero, ricordo che era stato pubblicato un articolo con tre paradossi matematici; alla fine dell’articolo non c’erano le spiegazioni di questi paradossi, ma soltanto l’invito ai lettori di proporre le proprie idee o le proprie soluzioni. E cosi’ e’ stato: vediamo quindi uno per uno i tre paradossi, cominciando da quello dei tre carcerati.
Supponiamo che ci siano tre carcerati A, B, C. Uno dei tre verrà graziato, mentre gli altri due verranno giustiziati. La probabilità che ciascuno ha di essere graziato è quindi di 1/3. Il carcerato A nota che questa probabilità è molto bassa ed allora fa il seguente ragionamento: sicuramente uno fra B e C verrà giustiziato. Supponiamo che questo sia il carcerato C (ma potrebbe essere allo stesso modo il B): allora fra i carcerati A e B, uno verrà giustiziato e l’altro graziato. In questo modo questi due carcerati hanno probabilità 1/2 di essere graziati e non più 1/3. Ora il carcerato A è più contento perché con questo semplice ragionamento ha aumentato la sua possibilità di uscire dal carcere!
Ecco una mail ricevuta da un misterioso signor P.
>…
>poi mi sono aiutato con il titolo "mancanza di dati necessari a risolvere il problema" e allora
>mi e’ venuto in mente questo ragionamento: il carcerato A non sa con quali criteri il giudice
>scegliera’ chi graziare. Ad esempio se al giudice sta’ antipatico il carcerato C, potrebbe
>deciderlo di condannarlo irrevocabilmente e allora si verificherebbe tutto il ragionamento
>descritto nel paradosso. Oppure il carcerato B potrebbe aver dato una bustarella al giudice
>per cui tutte le probabilita’ di essere graziato vanno a lui.
>
>P.
Bravo signor P. ! Hai centrato in pieno il problema. Il punto critico e’ la frase "sicuramente uno fra B e C verrà giustiziato"; questa affermazione e’ vera ma non e’ completa, perche’:
1) non sappiamo se e’ piu’ probabile che venga giustiziato B o C;
2) potrebbero venire giustiziati entrambe.
Si potrebbe dare una descrizione matematica piu’ formale al problema, ma occorrerebbe avere conoscenzeun po’ piu’ approfondite della teoria della probabilita’, quindi per ora fermiamoci qua.
Tre amici vanno al ristorante e alla fine della cena gli viene presentato un conto di 30.000 lire, cioè 10.000 lire a testa. Visto il servizio alquanto scadente i tre clienti vanno a protestare dal direttore del ristorante e questi decide di restituir loro 5.000 lire.
I tre amici allora dividono le 5.000 lire nel seguente modo: si riprendono 1.000 lire a testa e le restanti 2.000 lire le danno come mancia al cameriere. Calcoliamo la loro spesa totale:
9.000 lire a testa (le 10.000 meno le mille lire di rimborso). 9.000 x 3 = 27.000 lire.
Aggiungiamo le 2.000 che hanno dato di mancia al cameriere: 27.000 + 2.000 = 29.000 lire
Dove sono sparite le 1.000 lire che mancano per arrivare a 30.000?
Raccontandovi questo paradosso vi ho fatto credere vero un ragionamento sbagliato. Quello corretto e’:
I tre amici hanno speso 25.000 lire (le 30.000 meno le 5.000 restituite dal direttore) piu’ le 2.000 lire al cameriere.
Totale 25.000 + 2.000 = 27.000 lire, cioe’ 9.000 lire a testa!
Vediamo cosa ci ha scritto il nostro amico Anthony Tonizzo, gia’ autore di un’articolo sulla risonanza pubblicato nel mese scorso:
>Da come la vedo io, la attenzione va posta nel momento in cui i "tres
>amigos" ricevono le 5000 lire dal gestore. Quanto hanno speso in totale
>fin da quel momento? La risposta (nell’indovinello), viene (appositamente)
>ritardata fino a quando e’ troppo tardi!
>Nel momento in cui il gestore ritorna 5000 lire, uno dei 3 ha speso 9000
>lire, mentre gli altri due hanno speso 8000 lire (8000×2+9000 = 25000),
>sempre ponendo, e qui sta anche l’inghippo, che tu non possa spezzare le
>carte da mille.
>Quando si prendono 1000 lire ciascuno allora, non e’ affatto vero che
>hanno 9000 a cranio, ma uno dei tre ha in effetti tutte le 10000 intere.
>Siccome mi piaceva, lo ho tradotto in Inglese e lo ho proposto a Chris,
>uno dei miei ingegneri programmatori. Da notare che Chris e’ molto venale
>e quando si parla di dollari la sua mente corre sempre veloce.
>Dopo un paio di ore lo ho trovato nella pausa pranzo che si arrovellava
>sul problema e non riusciva a darsi pace che dal conto mancasse un dollaro.
>Alla fine, vista la mal partita, (avevo paura che spendesse tutto
>il pomeriggio alla ricerca del suo dollaro e che non completasse la
>scrittura di un pezzo di codice che mi serviva… 🙂 gli ho suggerito di
>fare quello che ho fatto io anni fa per realmente CAPIRE il problema.
>Taglia 30 pezzettini di carta, togli 5 dal mucchio e dai una occhiata a
>quello che resta. A quel punto anche Chris ci e’ arrivato.
Questa affermazione è falsa.
Qui il problema e’ che questo paradosso non si puo’ spiegare limitandosi alla logica aristotelica. E’ come voler calcolare la radice quadrata di un numero negativo stando nel campo dei reali: semplicemente non e’ possibile ed e’ per questo motivo che e’ stato introdotto un campo piu’ ampio, quello dei numeri complessi, in cui e’ ammesa l’estrazione di radice quadrata di numeri negativi. Cosi’ e’ successo per la logica come spiega brevemente Daniele:
>Questo paradosso si puo’ spiegare estendendo i concetti di "vero" e "falso", con
>l’idea di mezza verita’. L’ambiente ideale e’ quello della fuzzy-logic; qui un’affermazione
>falsa ha valore 0, una vera ha valore 1 e le affermazioni a cui non si puo’ rispondere
>con vero o con falso (ad esempio "un uomo di statura 1.80 metri e’ alto", oppure
>"Simona e’ bella") hanno valori intermedi. Chiamando x il grado di verita’ del paradosso,
>l’equazione che lo risolve e’ x = 1 – x, cioe’ x = 0.5. L’affermazione e’ indeterminata,
>e’ esattamente a meta’ fra il vero e il falso.
