Iniziamo questo nuovo mese facendo i complimenti a Maurizio Lapenna che, con una velocita’ sorprendente, mi ha spedito le soluzioni ai problemi proposti nel mese scorso. Con il consenso di Maurizio, ho pensato di pubblicare le soluzioni da lui proposte, perche’ mi sono sembrate estremamente chiare e rigorose. Colgo l’occasione per invitare tutti i lettori che lo desiderino ad inviarmi le loro soluzioni. Prometto che tutti coloro che risponderanno correttamente verranno citati nel numero successivo.
Ed ora passiamo alle soluzioni del mese scorso:
Sicuramente il prodotto di 1989 numeri interi consecutivi e’ divisibile per 1989. In realta’ non e’ necessario moltiplicare cosi’ tanti numeri consecutivi per ottenerne uno divisibile per 1989. Trovare in piu’ piccolo intero n tale che il prodotto di n numeri interi consecutivi sia sempre divisibile per 1989.
Come suggerimento, provero’ a giustificare la prima affermazione: nel prodotto di 1989 numeri interi consecutivi ci sara’ senz’altro un multiplo di 1989 (perche’ un numero ogni 1989 e’ un multiplo di 1989); di conseguenza questo prodotto sara’ divisibile per 1989.
Scomponiamo il numero 1989 in fattori primi. Si ha:
1989 = 17 * 13 * 3^2
Pertanto il prodotto di un qualunque insieme di n interi contenente questi tre fattori è divisibile per 1989. Di conseguenza basterà trovare il più piccolo intero n tale che, preso un qualunque intero p, il sottoinsieme S dei naturali N composto da:
S = { p , p+1 , … ,p+n-1 }
Contenga i tre fattori specificati sopra. Dalla osservazione nel testo concludo che il più piccolo n che soddisfa questa condizione è 17.
Scriviamo di seguito, uno di fianco all’altro, i numeri da 1 a 60. Il problema e’ quello di cancellare 100 cifre in modo che le cifre restanti formino il piu’ grande numero possibile.
Giustapponendo di seguito i primi 60 numeri naturali si ottiene un numero di ( 9 * 1 ) + ( 51 * 2) = 9 + 102 = 111 cifre.
Dovendo cancellare 100 cifre otterremo un numero di 11 cifre. A questo punto ho un dubbio sulla formulazione del problema. Ci sono dei vincoli nella cancellazione delle 100 cifre? Ecco le mie risposte:
In tal caso il più grande numero ottenibile è
123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960
Quindi il numero e’ 99999785960.
In tal caso il più grande numero ottenibile è
1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545 55657585960
In tal caso il più grande numero ottenibile è
1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484 95051525354 555657585960
——————————————————————-
Maurizio mi ha fatto giustamente notare che il testo del secondo problema poteva avere un’interpretazione ambigua, perche’ non ho specificato se c’erano particolari regole per cancellare le cifre. Non specificando nulla nel testo, avevo voluto sottintendere che non c’e’ alcun vincolo con cui cancellare le cifre. La giusta interpretazione del problema e’ quindi quella espressa nel primo punto.
Passiamo ora ad altri due nuovi problemi.
1) Una seggiovia ha 100 seggiolini, numerati da 1 a 100. Uno sciatore prende la seggiovia e sale sul seggiolino numero x. Durante il tragitto che lo porta in cima alla montagna incontra tutti gli altri 99 seggiolini. Arrivato in cima, egli afferma che 7 dei seggiolini che ha incrociato avevano un numero che divideva x (il numero del suo seggiolino), mentre x divideva il numero di 3 dei seggiolini incrociati. Quanto vale x?
2) Due poligoni hanno complessivamente 89 diagonali. Quanti lati hanno complessivamente i due poligoni?
L’appuntamento e’ al mese prossimo. A presto!
